Aplicación de MATLAB al análisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto

- El uso de los diferentes comandos permite acortar el trabajo de calcular y analizar sistemas de control en tiempo discreto los que iremos desglosando.
- Comando c2dm . Permite convertir una función de transferencia de tiempo continuo a una de tiempo discreto, para que este comando funcione adecuadamente se debe tener la función de transferencia en forma de vectores y se usa un retensor ‘zoh’.
- Comando d2cm . Permite convertir una función de transferencia de tiempo discreto a una de tiempo continuo, para que este comando funcione adecuadamente se debe tener la función de transferencia en forma de vectores y se usa un retensor ‘zoh’ para que la función quede retenida dentro de un tiempo definido o indefinido.
- Comando c2d. Permite convertir un función de transferencia de tiempo continuo a una de tiempo discreto, la función debe ser almacenada y esta puede estar en forma de vector o en forma simbólica también se usa el retensor ‘zoh’.
- Comando d2c. Permite convertir una función de transferencia de tiempo discreto a una de tiempo continuo, la función almacenada puede ser vector o simbólica, se usa el retensor ‘zoh’ y se define el tiempo de muestreo.
- Feedback , nos permite hallar la función de transferencia de lazo cerrado con realimentación, esta puede ser unitaria u otra función, las funciones debe ser almacenadas en memorias y estas pueden ser vectores o símbolos, se debe definir el tiempo de muestreo.
- dstep, grafica la respuesta de una función en tiempo discreto si se le aplica un escalón unitario, la función debe estar en forma de vectores y se debe especificar el tiempo de muestreo.
- dimpulse , grafica la respuesta de una función cuando se le aplica un impulso unitario, la función debe estar en forma de vectores con tiempo de muestreo especificado.
- Para visualizar todos los gráficos se utilizo el comando subplot donde a este se le da las coordenadas para posicionar las graficas.
- Como se puede observar los comandos trabajan generalmente con vectores lo que implica usar comandos como conv, tf, tfdata, y otros.
- Las graficas presenta una buena exactitud.
- Las respuestas son muy similares a la respuesta analógica obtenida en anteriores laboratorios solos que estas están discretizadas y retenidos que depende del tiempo de muestreo.
- El paquete directamente presenta el escalonamiento de las respuestas las cuales se puede ver que casi todos los sistemas son estables.


5.6. Bibliografía:

- Benjamin C. Kuo, Sistemas de control Automático, Séptima edición. Prentice Hall,1996.
- Katsuhito Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, segunda edición, Prentice Hall,1993.

Análisis de los Sistemas de Control en Tiempo Discreto - En el paquete MATLAB .

- La obtención de la función de transferencia se puede realizar de 2 formas: mediante símbolos y otra mediante vectores, en este laboratorio se uso vectores.

- Para la obtención de algunos pasos se necesita que la función este en vectores y para otros casos la función debe estar en forma simbólica esto en el MATLAB significa que hay que estar cambiando la función de vector a simbólica y viceversa varias veces lo que resulta una tarea bastante tediosa.

- La respuesta en el tiempo está mejor presentada que en el Program CC ya que en MATLAB se observa mejor la cuantificación de la función en forma de escalones.

- La transformada z es muy importante para el diseño de sistemas de control digitales, al muestrear la función hacemos que la función pase de ser continua a discreta, la cual después la cuantificaremos y de esta manera llevarla al lenguaje binario u otro.

- Con el método de la trasformada z, las soluciones a las ecuaciones en diferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica en z.

- La analogía que existe entre la transformada de Laplace y la transformada z que se usa en tiempo discreto nos permite utilizar los criterios de sistemas de control en tiempo continuo a sistemas de control en tiempo discreto para hacer análisis de respuesta en frecuencia, estabilidad en lazo abierto y lazo cerrado y otros más.


4.6. Bibliografía:

- Benjamin C. Kuo, Sistemas de control Automático, Séptima edición. Prentice Hall,1996.
- Katsuhito Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, segunda edición, Prentice Hall,1993.

Análisis de los Sistemas de Control en Tiempo Discreto - En el paquete Program CC

- La obtención de polos, ceros, expansión en fracciones parciales, transformada z y su inversa son bastante sencillas, basta con el uso de comandos simples para obtener cualquiera de las funciones mencionadas.

- En cuanto a la obtención de la respuesta en el tiempo se observa que el paquete une los puntos que se obtienen de la función y[n] la cual es una función discreta para un T dado.

- El paquete nos permite realizar los modelos de variables de estado en la forma controlable y en la forma observable, al ejecutarse el programa se lo presenta en columnas.

- El paquete también nos permite reconstruir la función de transferencia a partir de las variables de estado algo que ahorra mucho tiempo.

Conclusiones: Sistemas de Fases

* Para SIMULINK
- Al variar la frecuencia a valores más elevados la amplitud de la salida disminuye.
- El proceso en el paquete es rápido y sencillo.
- El desfase va variando y en frecuencias muy elevadas se establece en 180º.

*Para MATLAB – CC5
- La obtención del diagrama de Bode es fácil, los paquetes no muestran los diagramas de magnitud y fase real y no el asintótico.
- En MATLAB se obtiene el diagrama de Nyquist completo.
- En CC5 se obtiene el diagrama de Nyquist incompleto, solo se muestra la parte real e imaginaria negativa.
- El diagrama de magnitud de Bode en ambos casos está en una escala de decibelios (dB).
- La obtención de este diagrama nos permite determinar la magnitud y el desfase de la respuesta en estado permanente ante una entrada sinusoidal para diferentes ω.
- El uso de estos paquetes nos ayudan a determinar de manera rápida:

• Polos, ceros y la ganancia del sistema.
• Diagrama de Bode en magnitud y fase.
• Diagrama de Nyquist.
• La grafica de la salida para diferentes ω.
• Determinar si el sistema es estable.

- Comparando el diagrama de Bode obtenido en el paquete y el asintótico se puede apreciar una gran aproximación con error minimo.


2.6. Bibliografía:

- Benjamin C. Kuo,sistemas de control automatico,septima edicion.prentice hall,1996.
- Katsuhito Ogata,ingenieria de contol moderna,segunda edicion,prentice hall,1993.

Efecto de los ceros. (II)

Es importante resaltar que para ceros en el semiplano derecho (este es el caso en la figura 4.28) la respuesta al escalón presenta en sus inicios valores de signo contrario a los de la respuesta de estado estacionario; este fenómeno, conocido como subpico (en inglés undershoot) puede llegar a ser muy peligroso en algunos sistemas físicos, y constituye una gran dificultad para su control.
Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano derecho, se conocen como sistemas de fase mínima, o simplemente minifase La presencia de subpicos ante una entrada escalón es fácil de demostrar para un sistema de segundo orden con polos reales y un cero real, tal como

Efecto de los ceros. (I)

Pese a que en las secciones anteriores se ha hecho énfasis en el efecto que tiene sobre la respuesta natural la ubicación de los polos en el plano, no debe desconocerse que los ceros también influyen en la respuesta.
Supóngase un sistema continuo de segundo orden, con un cero real:

Investigue que significan los sistemas de fase mínima y fase no mínima.

4) SISTEMA DE FASE MÍNIMA:

 Definición
Hemos visto que un sistema es de fase mínima cuando todos sus polos y ceros están en el semiplano izquierdo, si tiene algún cero en el semiplano derecho se dice que es de fase no mínima y si tiene algún polo en este último semiplano se tratará de un sistema inestable.
Ambos tipos de sistemas tienen la misma característica de amplitud pero no de ángulo de fase, ya que los sistemas de fase no mínima tienen un atraso grande de fase a altas frecuencias.
Por ejemplo:

Una forma experimental de determinar si un sistema es de fase mínima o no, es a partir del diagrama de Bode. Así, si un sistema cumple las dos siguientes condiciones, será de fase mínima:
1) La pendiente de la curva del logaritmo de la amplitud cuando w® ¥ es -20(q-p) dB/déc, donde 'q' y 'p' son los grados de los polinomios denominador y numerador de la función de transferencia respectivamente.
2) El ángulo de fase en w® ¥ es -90º(q-p).
Los sistemas con retardo son sistemas de fase no mínima porque tienen un atraso de fase excesivo a altas frecuencias:

Binario a Gray

Una técnica sencilla para pasar de binario a Gray sin usar un lenguaje de programación es esta:
1. aplicar un XOR (disyunción exclusiva, también se puede sumar cada bit individualmente descartando cualquier acarreo) del número a sí mismo pero con un acarreo a la derecha
2. eliminar el bit del extremo derecho
3. Los acarreos tienen que descartarse
Ej: Pasar diez (1010) de binario a gray será 1111
1010
101
-----
1111
Otro Ejemplo
111000
11100
------
100100

CIRCUITOS COMPARADORES DE TENSION

Transformada ZETA. CONCLUSIONES.

- La obtención de la transformada zeta es muy sencilla mediante el paquete, en el caso de que la función sea continua basta con muestrearla, es decir, reemplazar t por nT, en MATLAB T=1 después con el comando ztrans obtenemos la transformada z.

- Para la obtención de la trasformada z de una función G(s) primero trasformamos G(s) a g(t) con el comando ilplace y luego hacemos que g(t) = g(nT) luego introducimos la función g(nT) en MATLAB.

- Para hallar la transformada inversa zeta solo introducimos la función tal como se la presenta y con el comando iztrans hallamos la inversa, claro está, el resultado es una función en tiempo discreto.

- La transformada z es muy importante para el diseño de sistemas de control digitales, al muestrear la función hacemos que la función pase de ser continua a discreta, la cual, solo toma valores enteros y la tecnología digital, generalmente, está en lenguaje binario.

- Con el método de la trasformada z, las soluciones a las ecuaciones en diferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica en z.

- La transformada z que se usa en tiempo discreto es el análogo de la transformada de Laplace que se usa para el tiempo continuo, donde surge la misma restricción “No puede existir tiempos negativos en ambas transformadas.


2.6. Bibliografía:

- Benjamin C. Kuo, Sistemas de control Automático, Séptima edición. Prentice Hall,1996.
- Katsuhito Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, segunda edición, Prentice Hall,1993.

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales

1.- Realice los mismos pasos del desarrollo considerando la siguiente función de transferencia, en lazo cerrado

Combustión catalítica

La combustión catalítica es otra forma de efectuar combustiones a baja temperatura.
El principio consiste en estabilizar la llama a baja temperatura gracias a un catalizador, Fig XI.16. Sin embargo hay que resolver los problemas debidos al ensuciamiento y al comportamiento térmico el catalizador si se quiere obtener una vida útil del mismo compatible con su utilización.

Como conclusión, las tecnologías de tipo de cámara de dos cabezas parecen tener la suficiente fiabilidad como para permitir su aplicación a corto plazo. Sin embargo es preciso encontrar un equilibrio entre la reducción de aproximadamente el 30% en NOx que puede aportar este tipo de tecnología y el aumento del peso y precio del motor; también hay que considerar su fiabilidad ligada a una mayor complejidad.
Las cámaras de combustión desarrolladas hasta ahora presentan niveles de contaminación que cumplen con las normas (OACI). Hace muchos años que las tecnologías anticontaminación son objeto de estudio y, sin embargo, las nuevas tecnologías presentan inconvenientes en lo que se refiere al coste, peso y fiabilidad, que habrá que tener en cuenta al realizar el dimensionamiento.
Todavía no se conocen bien los mecanismos químicos atmosféricos en los que participan las substancias emitidas a gran altura por las turbinas de aviación. Sin embargo se deben reducir de forma especial las emisiones de NOx que siguen siendo un problema clave en el caso de los aviones supersónicos.

Combustión rica, dilución rápida pobre.-

Teóricamente es posible reducir las emisiones de NOx efectuando las combustiones estequiométricas en la zona primaria y diluir rápidamente los gases para limitar
el tiempo de permanencia en las zonas estequiométricas.
La puesta a punto de este tipo de cámara, Fig XI.15, exige resolver ciertos problemas como:
a) La producción de carbono en la zona primaria muy rica y la combustión en la zona de dilución
b) La refrigeración de la zona primaria sometida a una radiación intensa debida a las partículas de carbono, evitando
toda inyección de aire a fin de eliminar las zonas de mezcla estequiométricas
c) La dilución rápida a estequiometría controlada.

Inyección con premezcla pobre

La formación de NOx depende mucho de las temperaturas y riquezas locales presentando un pico importante para las mezclas estequiométricas; una premezcla antes de la combustión permite minimizar las zonas en las que las riquezas estén próximas a la estequiométrica.
En la Fig XI.14 se presenta el esquema de esta cámara.

La cabeza de despegue incluye un dispositivo de premezcla y estabilizadores de llama del tipo de recalentamiento.
La ventaja aportada por la premezcla se suma, por lo tanto, al efecto producido por el corto tiempo de permanencia, permitiendo limitar la formación de NOx.
El inconveniente de esta tecnología es el peligro de autoinflamación antes de los estabilizadores de la llama, por lo que el control de estos fenómenos de autoinflamación es una cuestión clave para la utilización de esta técnica, especialmente en las turbinas de elevadas relaciones de compresión.

Geometría variable.-

Permite regular el gasto másico en la zona primaria para cada régimen de funcionamiento.
Si se desea optimizar el funcionamiento de la cámara en todos los regímenes, puede ser necesario introducir en el dimensionamiento un grado de libertad adicional que se puede alcanzar con la ayuda de una geometría variable que permita regular el gasto másico en la zona primaria para cada una de las condiciones de funcionamiento.
Además de reducir la contaminación, la geometría variable tiene otras ventajas que pueden compensar los inconvenientes debidos a su tecnología más compleja, como un menor volumen de la cámara de combustión que permite reducir el espacio ocupado y el peso del motor, aumentando el intervalo de riquezas y ampliando el campo de reencendido durante el vuelo.
La geometría variable se puede combinar con técnicas de combustión escalonada.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

Para conseguir mejoras significativas en la reducción de los niveles de contaminación, es necesario imaginar otro tipo de soluciones tecnológicas completamente nuevas, como:
Inyección escalonada.- La separación de las funciones de ralentí y despegue es una de las posibilidades para reducir el nivel de contaminación de una cámara, superando el compromiso entre la riqueza y el tiempo de permanencia en la zona primaria.
En la Fig XI.12 se presenta un ejemplo de cámara de combustión con dos cabezas; la cabeza de ralentí posee un gran volumen (tiempo de permanencia elevado) y está alimentada por una cantidad de aire que permite optimizar la estequiometría de la zona primaria en condiciones de ralentí, produciendo pocos inquemados.

Fig XI.12.- Cámara de combustión con dos cabezas La cabeza de despegue es de pequeño volumen (corto tiempo de permanencia), estando alimentada por una gran parte del aire suministrado por el compresor, de forma que se obtiene una zona primaria subestequiométrica, por cuanto el flujo desde la salida de la zona primaria queda muy diluido debido a una serie de orificios de dilución, consiguiéndose una fijación rápida de las reacciones de formación de NOx a regímenes elevados. Los niveles de contaminación obtenidos son inferiores a los de las tecnologías clásicas, reduciendo los NOx en aproximadamente el 30%.
En general, la mejora de la contaminación se obtiene a costa de una mayor complejidad de la tecnología de la cámara y, especialmente, aumentando el número de inyectores. Las temperaturas de la pared son más elevadas, debido a la mayor superficie de pared del tubo de llamas, lo que es un problema; en determinados regímenes intermedios existe una cierta dificultad en alcanzar buenos rendimientos, por cuanto ambas cabezas están, necesariamente, lejos de su funcionamiento óptimo.

TECNOLOGÍA ACTUAL

Las diferentes técnicas de reducción expuestas, aplicadas a las turbinas modernas actualmente en servicio, han permitido reducir considerablemente los niveles de emisión de inquemados. Se han optimizado el sistema de inyección, el reparto de aire y carburante, etc, pero estas mejoras incrementan los NOx debido al aumento de las relaciones de compresión de las turbinas.
La cámara de combustión representada en la Fig XI.11 es ultracorta (L/A = 1,75) y ha sido adaptada a un ciclo de motor propfan dando lugar a un bajo consumo específico, con niveles de contaminación bastante por debajo de los límites vigentes, obteniéndose los siguientes resultados:

Acción sobre el ciclo del motor.-

El parámetro de contaminación definido en las normas internacionales

en la que (IE) es un índice de emisión que representa el nivel tecnológico de la cámara de combustión, y Cs es el consumo específico ligado al ciclo del motor.
Esto indica que, para disminuir el parámetro (Dp/F00) el constructor tiene dos posibilidades:
a) Mejorar la cámara de combustión.
b) Seleccionar un ciclo que dé lugar a un menor consumo específico
La consecuencia directa de la mejora del consumo específico en todas las turbinas modernas, con alta relación de dilución y en las turbinas tipo propfan, es la disminución de los niveles de contaminación.

Acortamiento de la cámara de combustión.-

El acortamiento de la cámara permite reducir el tiempo de permanencia al tiempo que limita la formación de los NOx. La relación (longitud/diámetro) ha disminuido
en un 30% en 30 años, lo cual ha sido posible por un mejor control de la aerodinámica interna del tubo de llamas que ha permitido acortar las cámaras sin aumentar la complejidad de las temperaturas de salida, y sin aumentar los inquemados, permitiendo obtener en las turbinas modernas niveles de NOx equivalentes
a los de los antiguos motores, a pesar del aumento de las relaciones de compresión

Optimización del reparto de carburante

En esta situación no se reducen los NOx. En condiciones de baja carga, se puede optimizar la estequiometría de la zona primaria, regulando el reparto de carburante entre los inyectores, pero este tipo de solución exige un sistema de alimentación de carburante más complejo, no siendo válida para regímenes elevados; por lo tanto, no da lugar a reducciones directas de los niveles de NOx, sino que favorece una débil producción, mejorando el compromiso entre el funcionamiento al ralentí y el funcionamiento a plena carga.

Optimización del reparto de aire.-

Los niveles de contaminación emitidos dependen también del reparto de aire en el tubo de llamas; la fracción del gasto másico de aire que alimenta la zona primaria, la difusión e incluso el gasto másico de refrigeración, se deben regular para obtener el mejor compromiso entre las diferentes prestaciones.

Sin embargo, la optimización del reparto de aire en el tubo de llamas no permite establecer un compromiso entre las prestaciones y las sustancias contaminantes; en la Fig XI.10 se muestra que si se modifica en una cámara la posición de los orificios de dilución (aire terciario), la contaminación de los NOx disminuye, pero ésto da lugar a una reducción del volumen de la cámara, en donde la temperatura es elevada, provocando un aumento de los niveles de inquemados CH.

Mejora del sistema de inyección.-

La mejora de los sistemas de inyección disminuye los CH por cuanto los niveles de contaminación emitidos dependen mucho del rendimiento del sistema de inyección.

La calidad de la mezcla (aire-carburante) y su distribución en la zona primaria de la cámara de combustión, condicionan las riquezas y temperaturas locales. Una mejora del sistema de inyección es, por lo tanto, una importante vía para reducir la contaminación; la sustitución de los tubos de vaporización por una inyección aerodinámica, Fig XI.9 y 10, ha dado lugar a importantes mejoras en la emisión de contaminantes, especialmente en los inquemados.

Cambio de carburante.-

Las turbinas industriales se proyectan para ser utilizadas con diferentes carburantes (gasóleo, gas natural, gas pobre, alcohol, etc). La experiencia demuestra que, debido a que la temperatura de la llama es más baja, los carburantes con un poder calorífico débil dan lugar, para un mismo diseño de la cámara de combustión, a niveles de NOx más bajos y a niveles de CO e hidrocarburos no quemados más altos.
La utilización de carburantes de bajo poder calorífico da lugar a consumos específicos mayores, necesitando, una mayor cantidad de carburante para un mismo cometido. Estas soluciones, aplicables a las turbinas industriales de gas, lo son difícilmente a las turbinas de aviación, ya que dan lugar a un mayor consumo.

Inyección de amoniaco

Otra solución consiste en intentar eliminar los NOx mediante inyección de un agente reductor, por ejemplo, amoníaco; ésto implica:
a) Un dispositivo de detección del contenido de NOx en los gases de escape
b) Un sistema de regulación que dosifique el gasto másico del agente reductor NH3 que debe ser inyectado
c) Una cámara de reacción de volumen suficiente como para permitir se produzcan las reacciones químicas del NOx con el NH3., solución que resulta poco adaptable a las turbinas de aviación.

ALGUNAS TECNOLOGÍAS UTILIZADAS PARA REDUCIR LA CONTAMINACIÓN

Inyección de agua o de vapor.- El nivel de los NOx se puede reducir disminuyendo las temperaturas locales de la llama, por ejemplo, inyectando agua o vapor de agua en la cámara de combustión. Se ha comprobado que en las turbinas industriales THM, una inyección de agua equivalente al gasto másico de carburante: