Modelos Matemáticos y Funciones de Transferencia (II): Investigar que son las variables de estado y como se realiza la modelación mediante los mismos.

Estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables de modo que el conocimiento de estas variables en t=t0, junto con el conocimiento de la entrada para t>=t0, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t>=t0.

Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico.
Si se necesitan al menos n variables x1, x2... xn para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t>=t0 y se especifica el estado inicial t=t0 el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto de variables de estado.

Vector de estado: Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t>=t0, una vez que se obtiene el estado en t=t0 y se especifica la entrada u(t) para t>=t0.

Espacio de estados: El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, eje x2..., eje xn se denominan espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

Modelos Matemáticos y Funciones de Transferencia (I)

Realice el análisis de un sistema similar a los desarrollados en el laboratorio, el sistema mínimamente debe ser de segundo orden.

clc

%Lab.2

%Name: Chávez Choque Alvaro

%Adress: Pedro Ferrari #4, Toledo, Madrid

%Thelephone: 5264639

%I.N. 5775394 or.

%e-mail: alvaro.chavez_choque@hotmail.com

'1 Hallar la respuesta en el tiempo de la funcion dada'

% determinar G(s)

syms s G U1 U0

num=[-0.567 -3.78 0]

den=[0.189 0.93 1]

G=tf(num,den)

'Respuesta grafica del sistema'

% ajuste de la ganancia

G1=-10*G

step(G1)

% para que simule 25 seg

subplot(1,1,1)

step(G1,25)

grid

title('respuesta del sistema')

% Hallar la respuesta analitica

syms g ui uo s

g=(-0.567*s^2-3.78*s)/(0.189*s^2+0.93*s+1)

pretty(g)

vi=(-10)/s

v0=g*vi

pretty(v0)

pretty(simplify(ilaplace(v0)))

'2 Polos y ceros de las funciones de transferencia'

[ceros,polos,ganancia]=tf2zp(num,den)

'3 Expansión en fracciones parciales'

nume=-10

dene=[1 0]

Ui=tf(nume,dene)

U0=G*Ui

[nums,dens]=tfdata(U0,'v')

[residue,polos,directo]=RESIDUE(nums,dens)

Modelos Matemáticos y Funciones de Transferencia: Expansión en fracciones parciales

nume =

    -5

dene =

     1     0

 Transfer function:

-5

--

s

Transfer function:

           5

------------------------

0.188 s^3 + 0.87 s^2 + s

nums =

     0     0     0     5

dens =

    0.1880    0.8700    1.0000         0

residue =

   28.5714

  -33.5714

    5.0000

polos =

   -2.5000

   -2.1277

         0

directo =

     []

Modelos Matemáticos y Funciones de Transferencia: Polos y ceros de las funciones de transferencia

ceros =

Empty matrix: 0-by-1

polos =

-2.5000
-2.1277

ganancia =

-5.3191

ans =

Modelos Matemáticos y Funciones de Transferencia (II): Haciendo correr el programa vemos que el command window no muestra lo siguiente.

1 Hallar la respuesta en el tiempo de la funcion dada

num =

   -0.5670   -3.7800         0

den =

    0.1890    0.9300    1.0000

Transfer function:

 -0.567 s^2 - 3.78 s

----------------------

0.189 s^2 + 0.93 s + 1

ans =

Respuesta grafica del sistema

 Transfer function:

  5.67 s^2 + 37.8 s

----------------------

0.189 s^2 + 0.93 s + 1

 g =

(-567/1000*s^2-189/50*s)/(189/1000*s^2+93/100*s+1)

                                  567   2   189

                               - ---- s  - --- s

                                 1000      50

                              -------------------

                              189   2   93

                              ---- s  + --- s + 1

                              1000      100

vi =

-10/s

v0 =

-10*(-567/1000*s^2-189/50*s)/(189/1000*s^2+93/100*s+1)/s

                                   567   2   189

                                 - ---- s  - --- s

                                   1000      50

                          -10 -----------------------

                              /189   2   93       \

                              |---- s  + --- s + 1| s

                              \1000      100      /

                30       155    /        55              55   \

                -- exp(- --- t) |11 cosh(-- t) + 53 sinh(-- t)|

                11       63     \        63              63   /

ans =

2 Polos y ceros de las funciones de transferencia

ceros =

         0

   -6.6667

polos =

   -3.3333

   -1.5873

ganancia =

   -3.0000

ans =

3 Expansión en fracciones parciales

nume =

   -10

dene =

     1     0

 Transfer function:

-10

---

 s

Transfer function:

   5.67 s^2 + 37.8 s

------------------------

0.189 s^3 + 0.93 s^2 + s

 nums =

         0    5.6700   37.8000         0

dens =

    0.1890    0.9300    1.0000         0

residue =

  -57.2727

   87.2727

         0

polos =

   -3.3333

   -1.5873

         0

directo =

     []

Modelos Matemáticos y Funciones de Transferencia: Halle en forma analítica la solución de los sistemas estudiados.

clc

%Lab.2

%Name: Chávez Choque Alvaro

%Adress: Pedro Ferrari #4, Toledo, Madrid

%Thelephone: 5264639

%I.N. 5775394 or.

%e-mail: alvaro.chavez_choque@hotmail.com

'1 Hallar la respuesta en el tiempo de la funcion dada'

% determinar G(s)

syms s G U1 U0

num=[-1]

den=[0.188 0.87 1]

G=tf(num,den)

'Respuesta grafica del sistema'

% ajuste de la ganancia

G1=-5*G

step(G1)

% para que simule 20 seg

subplot(1,1,1)

step(G1,25)

grid

title('respuesta del sistema')

'Hallar la respuesta analitica'

syms g ui uo s

g=(-1)/(0.188*s^2+0.87*s+1)

pretty(g)

vi=(-5)/s

v0=g*vi

pretty(v0)

pretty(simplify(ilaplace(v0)))

'2 Polos y ceros de las funciones de transferencia'

[ceros,polos,ganancia]=tf2zp(num,den)

'3 Expansión en fracciones parciales'

nume=-5

dene=[1 0]

Ui=tf(nume,dene)

U0=G*Ui

[nums,dens]=tfdata(U0,'v')

[residue,polos,directo]=RESIDUE(nums,dens)

Haciendo correr el programa vemos que el command window no muestra lo siguiente.

1 Hallar la respuesta en el tiempo de la funcion dada

num =

    -1

den =

    0.1880    0.8700    1.0000

 Transfer function:

          -1

----------------------

0.188 s^2 + 0.87 s + 1

ans =

Respuesta grafica del sistema

 Transfer function:

          5

----------------------

0.188 s^2 + 0.87 s + 1

ans =

Hallar la respuesta analitica

 g =

-1/(47/250*s^2+87/100*s+1)

 

                                       1

                             - ------------------

                               47   2   87

                               --- s  + --- s + 1

                               250      100

vi =

-5/s

v0 =

5/(47/250*s^2+87/100*s+1)/s

                                      5

                            ----------------------

                            /47   2   87       \

                            |--- s  + --- s + 1| s

                            \250      100      /

                    435         35                   435         35

        5 - 5 exp(- --- t) cosh(--- t) - 435/7 exp(- --- t) sinh(--- t)

                    188         188                  188         188

ans =

Fundamento Matemático de los Sistemas de Control (VI)

Conclusiones:

- Los asistentes estudiados son muy útiles ya que simplifican en gran manera la resolución de problemas de control ahorrando mucho tiempo a los usuarios.

- Los programas pueden presentarnos las respuestas en forma algebraica, numérica o grafica.

*Para MATLAB

- La programación es algo dificultosa ya que se debe usar varios comandos para obtener determinados resultados (polos, residuos, TL, etc.)

- Los resultados son muy fiables, tienen una gran aproximación con la realidad.

- El tiempo de resolución es relativamente rápido.

- Los resultados pueden ser visualizados de forma numérica, algebraica y grafica.

*Para CC5

- La programación es más fácil, se ingresan las variables de forma directa y tiene comandos más cortos además de tener una gran variedad de estos para la resolución de diferentes problemas de control.

- Los resultados son bastante fiables, hasta 7 decimales de aproximación.

- El tiempo de resolución es muy rápido

- Los resultados pueden ser visualizados de forma numérica y grafica.

*Para VISSIM

- La programación es bastante fácil, basta con conectar los bloques de manera adecuada e ingresar los valores de manera correcta.

- Los resultados se presentan en forma grafica.

- El tiempo de resolución es bastante rápida.

- Los resultados son fiables aunque solo se presentan en forma grafica.

2.6. Bibliografía:

- Benjamin C. Kuo,sistemas de control automatico,septima edicion.prentice hall,1996.

- Katsuhito Ogata,ingenieria de contol moderna,segunda edicion,prentice hall,1993.

Fundamento Matemático de los Sistemas de Control (V)

Para el programa VISSIM tenemos:

La grafica de la respuesta en el tiempo sera:

Fundamento Matemático de los Sistemas de Control (III)

- Para el programa CC5 tenemos:

cls

%Lab.2

%Name: Chávez Choque Alvaro

%Introduccion de la funcion de transferencia

G=(s^2+4*s+3)/((s+1.5)*(s+0.3)*(s^2+3*s+3))

G

%a)polos y ceros

pzf(G)

%b)funcion de transferencia

tcf(G)

%c)funcion de transferencia en forma de ploinimios unitarios

unitary(G)

%adicional

single(G)

%d) la T.L. dela salida Y(s), sila entrada es de amplitud 10

%introduccion de la entrada

R=10/s

display('la salida es')

Y=G*R

Y

%e) Expancion en F.P. de la salida

pfe(Y)

%f)La I.T.L.anliticamente de la salida, para un ingreso escalon de amplitud 10

ilt(Y)

%g)respuesta en el tiempo de la salida para

%Modificacion de la amplitud de G(s)

G1=10*G

display('la respuesta es')

time(G1)

%h)El modelo en variables de estado

%forma observable

p1=ocf(G)

display(p1)

%forma controlable

p2=ccf(G)

display(p2)

%i)de variables de estado a funcion  de transferencia

Gc=fadeeva(p2)

display(Gc)

single(G)

Al hacer correr el programa tenemos:

                s^2 +4s +3

 G(s) = ————————————

        (s+1,5)(s+0,3)(s^2 +3s +3)

                     (s+1)(s+3)

 G(s) = ————————————————

         (s+0,3)(s+1,5)[(s+1,5)^2+0,866^2]

               2,222( 0,3333s^2 +1,333s +1)

 G(s) = ———————————————————

        ( 0,6667s+1)( 3,333s+1)( 0,3333s^2 +s +1)

                s^2 +4s +3

 G(s) = ———————————

        (s+1,5)(s+0,3)(s^2 +3s +3)

                    s^2 +4s +3

 G(s) = ————————————————

         s^4 +4,8s^3 +8,85s^2 +6,75s +1,35

la salida es

               10(s^2 +4s +3)

 Y(s) = ————————————

         s(s+1,5)(s+0,3)(s^2 +3s +3)

Fundamento Matemático de los Sistemas de Control (II)

Al hacer correr el programa tenemos:

Introducción de la función de transferencia

num =

     1     4     3

den1 =

    1.0000    1.5000

den2 =

    1.0000    0.3000

den3 =

     1     3     3

den4 =

    1.0000    1.8000    0.4500

den =

    1.0000    4.8000    8.8500    6.7500    1.3500

 Transfer function:

             s^2 + 4 s + 3

----------------------------------------

s^4 + 4.8 s^3 + 8.85 s^2 + 6.75 s + 1.35

Transfer function:

             s^2 + 4 s + 3

----------------------------------------

s^4 + 4.8 s^3 + 8.85 s^2 + 6.75 s + 1.35

ans =

a) polos y ceros

ceros =

    -3

    -1

polos =

  -1.5000 + 0.8660i

  -1.5000 - 0.8660i

  -1.5000         

  -0.3000         

ganancia =

     1

ans =

b) Expansión de fracciones parciales de la función de transferencia

residue =

  -0.7763 - 0.0791i

  -0.7763 + 0.0791i

   0.8333         

   0.7192         

polos =

  -1.5000 + 0.8660i

  -1.5000 - 0.8660i

  -1.5000         

  -0.3000         

directo =

     []

ans =

c) la transformada de la salida, si la entrada es un escalón de amplitud 10

numr =

    10

denr =

     1     0

 Transfer function:

10

--

s

ans =

la salida es

 Transfer function:

             10 s^2 + 40 s + 30

--------------------------------------------

s^5 + 4.8 s^4 + 8.85 s^3 + 6.75 s^2 + 1.35 s

ans =

d) expansión en fracciones parciales de la función Y(s)

ans =

convercion de Y(s)a vectores

numY =

     0     0     0    10    40    30

denY =

    1.0000    4.8000    8.8500    6.7500    1.3500         0

residueY =

   3.6530 + 2.6363i

   3.6530 - 2.6363i

  -5.5556         

 -23.9726         

  22.2222         

polosY =

  -1.5000 + 0.8660i

  -1.5000 - 0.8660i

  -1.5000         

  -0.3000         

        0         

directoY =

     []

ans =

e) la inversa de transformada de Laplace

g =

(s^2+4*s+3)/(s+3/2)/(s+3/10)/(s^2+3*s+3)

                                  2

                                 s  + 4 s + 3

                      -----------------------------------

                                             2

                      (s + 3/2) (s + 3/10) (s  + 3 s + 3)

r =

10/s

                                      10

                                     ----

                                      s

y =

10*(s^2+4*s+3)/(s+3/2)/(s+3/10)/(s^2+3*s+3)/s

                                     2

                                  s  + 4 s + 3

                   10 -------------------------------------

                                             2

                      (s + 3/2) (s + 3/10) (s  + 3 s + 3) s

 

ans =

f) La inversa en el tiempo

 Transfer function:

           10 s^2 + 40 s + 30

----------------------------------------

s^4 + 4.8 s^3 + 8.85 s^2 + 6.75 s + 1.35

ans =

g)El modelo en variables de estado

A =

B =

     1

     0

     0

     0

C =

     0     1     4     3

D =

     0

ans =

h) A partir de variables de estados, encontrar la función de transferencia

numc =

         0    0.0000    1.0000    4.0000    3.0000

denc =

    1.0000    4.8000    8.8500    6.7500    1.3500

Transfer function:

     9.77e-015 s^3 + s^2 + 4 s + 3

----------------------------------------

s^4 + 4.8 s^3 + 8.85 s^2 + 6.75 s + 1.35

Transfer function:

             s^2 + 4 s + 3

----------------------------------------

s^4 + 4.8 s^3 + 8.85 s^2 + 6.75 s + 1.35

Fundamento Matemático de los Sistemas de Control (I)

1. Mediante el MATLAB, CC5, VISSIM, realizar los mismos pasos del desarrollo para la solución de la siguiente función de transferencia

- Para el programa MATLAB tenemos:

clc
%Lab.2
%Name: Chávez Choque Alvaro
%Adress: Pedro Ferrari #4, Toledo, Madrid
%Thelephone: 5264639
%I.N. 5775394 or.
%e-mail: alvaro.chavez_choque@hotmail.com
%Desarrollo:
'Introducción de la función de transferencia'
num=[1 4 3]% numeradores de la función de transferencia
den1=[1 1.5]
den2=[1 0.3]
den3=[1 3 3]
den4=conv(den1,den2)
den=conv(den3,den4)%denominador de la función de transferencia
%conversión de la función de transferencia
G=tf(num,den)
display (G)
'a)polos y ceros'
[ceros,polos,ganancia]=tf2zp(num,den)
'b)Expansión de fracciones parciales de la función de transferencia'
[residue,polos,directo]=RESIDUE(num,den)
'c)la transformada de la salida, si la entrada es un escalón de amplitud 10'
%introducción de la entrad r(s)
numr=10
denr=[1 0]
R=tf(numr,denr)
'la salida es'
Y=G*R
'd)expansión en fracciones parciales de la función Y(s)'
'conversión de Y(s)a vectores'
[numY,denY]=tfdata(Y,'v')
[residueY,polosY,directoY]=RESIDUE(numY,denY)
'e)la inversa de transformada de Laplace'
syms g y r s
g=(s^2+4*s+3)/((s+1.5)*(s+0.3)*(s^2+3*s+3))
pretty(g)
r=10/s
pretty(r)
y=g*r
pretty(y)
pretty(simplify(ilaplace(y)))
'f) La inversa en el tiempo'
%modificación de la amplitud
G1=10*G
subplot(1,2,1)
step(G1)
%modification
subplot(1,2,2)
step(G1,10)
grid
title('respuesta del sistema')
'g)El modelo en variables de estado'
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
'h)A partir de variables de estados, encontrar la función de transferencia'
[numc,denc]=ss2tf(A,B,C,D)
Gc=tf(numc,denc)
display(Gc)

Laboratorio APLICACIÓN DEL MAPPLE - MATLAB - Conclusiones

• Habiendo concluido el presente laboratorio podemos afirmar que este asistente (MATLAB) puede ser de gran utilidad para resolver problemas tanto numéricos como simbólicos.
• El asistente es de gran utilidad a la hora de resolver cálculos largos y repetitivos, tanto numéricos como simbólicos, a una gran velocidad y exactitud.
• Se recomienda que para usar este asistente se necesita una base en los conocimientos matemáticos y del idioma ingles ya que este asistente tanto sus comandos como instrucciones están en ingles
• El lenguaje de programación no es muy censillo.
• Finalmente adquirimos un buen aprendizaje de resolución de problemas con este asistente matematico.

Laboratorio APLICACIÓN DEL MAPPLE - MATLAB (X)

Investigue como se realizan graficas tridimensionales en MATLAB.

Representación de diagramas y visualización de volúmenes en 3 dimensiones
MATLAB proporciona funciones para la visualización de matrices bidimensionales, datos escalares tridimensionales y datos vectoriales tridimensionales. Puede usar estas funciones para visualizar y comprender grandes cantidades de datos multidimensionales, generalmente complejos. Puede definir las características de los diagramas, tales como el ángulo de orientación de la cámara, la perspectiva, el efecto de iluminación, la ubicación de la fuente de luz y la transparencia. Las funciones de creación de diagramas tridimensionales incluyen:

Para realizar graficas tridimensionales (3D) debemos usar el comando plot3
La función de descripción plot3 exhibe una pantalla tridimensional de un sistema de referencias de 3 puntos plot3(x1,y1,z1,…), donde x1, y1, z1 son vectores o matrices, diagramas de una o mas líneas en tres dimensiones a través de los puntos de las cuales las coordenadas son los elementos x1, y1, y z1.

Observaciones

Si uno o mas de x1, y1, z1 es un vector, los vectores se trazan contra las filas o las columnas de la matriz, dependiendo si las longitudes de los vectores igualan al numero de filas o al numero de columnas.
Para otras aplicaciones mas avanzadas se sugiere escribir en el Command Window de MATLAB

>> help plot3

Luego hacer clic en doc plot3
Ejemplos

Trazar una hélice en 3 dimensiones:

(Estas sentencias se deben ingresar al editor de MATLAB)






t = 0:pi/50:10*pi;
plot3(sin(t),cos(t),t)
grid on
axis square